Zermelo-Fraenkel y la controversia del axioma de elección
La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) es hoy un pilar fundamental en la construcción del edificio matemático moderno. Sin embargo, su aceptación no fue inmediata ni sin contradicciones. Los matemáticos han tenido que enfrentar y resolver incertidumbres para establecer sus principios básicos.
El proceso de definir lo que constituye la verdad en matemáticas comienza con la escritura de demostraciones, construcciones sobre construcciones. Cada demostración se apoya en otras, formando una cadena de verdades interconectadas hasta llegar a los axiomas, las bases incontestables sobre las cuales se edifica todo el sistema matemático.
Estos axiomas son vistos como evidentes y obvios por muchos. Sin embargo, una mirada más detenida revela que su adopción fue un proceso complejo e influenciado por diversas consideraciones matemáticas. Según Penelope Maddy, filósofa de las matemáticas de la Universidad de California en Irvine, “la decisión de aceptar ciertos axiomas como verdaderos implica consideraciones matemáticas de diversa índole”.
La historia de ZF comienza a finales del siglo XIX. En un período marcado por paradojas y dudas, los matemáticos buscaban reglas coherentes para el universo matemático. A medida que avanzaba la investigación, se planteó la pregunta crucial: ¿podía derivarse toda la matemática de un conjunto común de axiomas?
En este contexto, Georg Cantor introduce su teoría de conjuntos y el principio del buen orden. Este último sostenía la posibilidad de ordenar cualquier conjunto en forma que todos sus subconjuntos no vacíos tengan un elemento mínimo. Aunque intuible para conjuntos finitos, para conjuntos infinitos era menos evidente.
Ernst Zermelo, matemático alemán, demostró que el principio del buen orden era equivalente al axioma de elección, una herramienta crucial en la construcción y manipulación de conjuntos. Este axioma permitía elegir un elemento de cada conjunto no vacío para formar nuevos conjuntos, facilitando la resolución de problemas complejos.
La teoría ZF, compuesta por diez axiomas, incluyendo el axioma de elección, fue una respuesta a estas necesidades. Aunque Zermelo consideraba que su sistema depuraba muchas paradojas matemáticas, no logró demostrar que fuera consistente. Kurt Gödel desmintió esta esperanza al probar que ningún sistema axiomático capaz de desarrollar la aritmética básica puede demostrar su propia consistencia.
Paul Cohen, en los años 60, demostró la independencia del axioma de elección respecto a ZF. Esto significa que dentro de estas reglas no se puede demostrar si el axioma es verdadero o falso. Sin embargo, su utilidad práctica ha llevado al amplio reconocimiento y aceptación del axioma.
Aunque los axiomas de ZFC pueden parecer evidentes e intuitivos, la historia de su creación revela un proceso más complejo y humano. El axioma de elección, en particular, demostró que las verdades matemáticas no son siempre evidentes o innatas, sino que pueden ser aceptadas por razones pragmáticas como generar teoremas interesantes.
En conclusión, ZFC ha llegado a ser considerada una verdad universal en la matemática moderna. No obstante, su base es simplemente aquello en lo que decidimos creer, un punto de partida sobre el cual se edifican inmensas cantidades de conocimiento y teoría.
